Enero

Martes, 03 de Enero del 2017

Media y Varianza de una variable aleatoria continua

• Media

• Varianza

• Desviación tipica

Viernes, 06 de Enero del 2017
Distribución de Bernoulli
Es un tipo de distribución para una variable aleatoria discreta "x" en donde solo se toman dos opciones:

• Éxito: 1
• Fracaso:0
• P(Éxito)= p
• P(Fracaso)= q= 1-p

Con un espacio muestral
S{Exito,Fracaso}

 x---Be(p)

p+q=1

Distribución Binomial
x= número de éxitos en n ensayos de Bernoulli
donde:

x---- Bin (n;p)

n= es el número de ensayos
x= número de éxtios
p=  probabilidad de éxitos
q= probabilidad fracaso

La combinatoria de x entre n se puede expresar como:





Características

• n debe ser un numero finito
• cada ensayo puede tener dos resultados, éxito o fracaso
• todos los ensayos son independientes

Martes, 10 de enero del 2017
Distribución de Poisson

x~Po (λ)

 

P(x) = probabilidad de que ocurran "x" éxitos , cuando el número promedio de ocurrencia es  λ

λ= media o promedio éxitos por unidad de tiempo, área o producto

x= número de éxitos que se desea que ocurra  

Características

• Sucesos independientes 
• x es una variable aleatoria discreta con valores enteros positivos 
• Se da dentro de un intevalo de tiempo 
• Lambda es un valor constate positivo (esperanza)
• si n > 29 y p < 0.05 entonces
• La esperanza y varianza está definida por:

Cuando nos dan un tiempo en el que ocurren los sucesos:

formula que representa la probabilidad de que r eventos ocurran en un tiempo t.

Viernes, 13 de enero del 2017

Distribución Geométrica

x---GEO(p)

donde

x: número de fracasos hasta el éxito

Características

• se realizan n pruebas hasta obtener el primer éxito
• se pueden obtener únicamente dos resultados, éxito o fracaso
• pruebas idénticas e independientes entre si
• la  probabilidad de éxito p se mantiene constante.

${\displaystyle P(X=x)=(1-p)^{x-1}p\$

p= probabilidad de éxito

q=1-p= probabilidad de fracaso

x= número de ensayos

Esperanza y varianza

 

Ejemplo:

Del salon el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.

Definir éxito: sea hombre.

x = 4

p = 0.60

q = 0.40

Distribución Binomial Negativa

x---- NB(r,p)

donde 

x:  es el número de experimentos de Bernoulli de parámetro p independientes relizados hasta la consecución del r-ésimo éxito

r: número de éxitos 

Características

• se pueden obtener únicamente dos resultados, éxito o fracaso
• eventos independientes entre si
• la  probabilidad de éxito p se mantiene constante.

Esperanza y Varianza

Martes, 17 de Enero del 2017
Distribución Uniforme Discreta

Es una distribución de probabilidad donde la variable discreta "x" toma un finito número de valores con la misma probabilidad; a estos resultados se les denomina equiprobables debido a que todos ellos poseen la misma probabilidad de suceder. Donde:

 

Esperanza y Varianza

 

 

Características

• La variable aleatoria toma valores finitos  cada uno  con idéntica probabilidad.
• La varianza y esperanza de una v,a,d no depende de los valores que puede tomar la variable x sino únicamente del tamaño de la muestra

Ej: Se lanza un dado con forma de octaedro. Calcule  la esperanza y varianza

x: posibles resultados del dado

S: {1,2,3,4,5,6,7,8}

P(x=k) = 1/8

E(x) =9/2

Var(x)= 21/4

Distribución Hipergeométrica

Se refieren a los experimentos que consisten en tomar muestras sin reposición, de un conjunto finito, el cual contiene resultados considerados "éxitos" y "fracasos" . 

 

Donde:

N: cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra

k: cantidad de elementos que se consideran éxitos

n: tamaño de la muestra

x: v.a.d. Cantidad de resultados exitosos

Esperanza y Varianza

 

• Se puede considerar que la distribución hipergeométrica se aproxima a la distribución binomial si n< 0.05N, entonces      X~Bi(n , k/N)

Distribución de Probabilidad Uniforme Continua

 X~ u [a,b]

 

 

Características

• La probabilidad es constante en el intervalo [a,b]
• La probabilidad se determina en un intervalo, debido a que es una variable aleatoria continua
• La probabilidad en un punto es cero 

Esperanza y Varianza
  

Viernes, 20 de Enero del 2017
Prueba I del Segundo Bimestre

 
Martes,24 de Enero del 2017
Distribución Normal

Sea X~ N [µ ,σ]
Con una función de densidad:

donde la esperanza y la varianza son:





Función de Probabilidad de Distribución

 

Para facilitar los cálculos se estandariza a la variable aleatoria x, de tal manera que siga una distribución normal estándar.
 
Distribución Normal Estándar
Sea z~ N [0,1]
donde z:

 

Entonces sigue la siguiente distribución de probabilidad

Propiedades

• P(Z>z)= 1-F(z)
• P(a<z<b)= F(b)-F(a)
• P(ǀZǀ>z)= P(Z>z)+P(Z<z)=2[1-F(z)]
  
  
  

  Para facilitar los calculos de probabilidad se utiliza una tabla tipificada con valores calculados preestablecido de la distribución normal estándar

  

Viernes, 27 de enero del 2017

Distribución Exponencial

Es una distribución continua ampliamente relacionada con la distribución de variable discreta denominada Poisson, generalmente se utiliza para estimar el tiempo de vida de un componente, se caracteriza por no tener memoria, es decir que el tiempo de estimación empieza una vez se comienza el experimento 

Sea X~Exp(λ)

Función de densidad.

  

donde: 

λ=coeficiente de razón  

 

Función de Distribución acumulada

 

Esperanza y Varianza

 

Propiedades

• No tiene Memoria, no influye cuanto tiempo ha permanecido en ese estado

P(x>(s+t)/x>s)= e^(-t)

• Procesos independientes (Eventos que siguen un proceso de Poisson)
• Si xi,......,xn es una muestra aleatoria de Exp(λ) entonces el parámetro λ se estima con:

• La incertidumbre de la misma manera se calcula como:

Relación entre Poisson y Distribución Exponencial

x: Cuenta el n´´umero de eventros que ocurren en un tiempo [0,t] con una media λt entonces

donde:

r= 0,1,2,3

T= tiempo que transcurre hasta que sucede el rpimer evento de Poisson. El rango T es [0,+∞] y su distribución de probabilidad es:

F(t)= P(T<t)= 1- P(T>t)

F(t)= 1- P(x=0)

F(t) = 1- e^(-t)

Martes,31 de enero del 2017
Teorema del Límite Central

 

Sea x1,x2,....,xn una muestra aleatoria simple de una población con media u y varianza σ²

 Sn= x1+x2+...+xn

Si n es demasiado grande entonces

~N(u,σ²/2)

Sn ~ N(nu,nσ²/2) 

Propiedades

• Si el tamaño muestral es mayor a 30, la aproximación del teorema del limite central es buena.
• Tenemos una muestra aleatoria (son independientes e igualmente distribuidos), con una media comun u y σ².
• Si x es la media de una muestra de tamaño n extraida de una población que tiene media u y varianza σ², entonces:

Valores Referenciales de la Distribución Normal

 

•  P(X∈[u-σ ;u+σ])  ~68%
   
• P(X∈[u-2σ ;u+2σ])  ~95%
   
• P(X∈[u-3σ ;u+3σ])  ~100%